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| 인제대 창의력교육센터장 컴퓨터응용과학부 mathkim@inje.ac.kr | |
①원의 크기가 작아질수록 남겨진 색종이의 넓이가 더 작다.
②원의 크기가 작아질수록 남겨진 색종이의 넓이가 더 많다.
③원의 크기에 상관없이 남겨진 색종이의 넓이는 같다.
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| 〈그림 1〉 | |
〈그림 1〉 참조
▶정답 ③
▶풀이
■방법1:닮음을 이용한 넓이의 비교
원을 자르고 남은 부분의 넓이를 알아보기 위해서 닮음 도형의 성질을 이용해보세요. 아래의 정사각형 ABCD와 정사각형 EFGH는 닮음 도형이죠. 다음 세 물음을 해결해보면서 규칙을 찾아보세요.
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| 〈그림 2〉 | |
〈그림 2〉 참조
㉮와 닮음 도형이 되도록 ㉯~㉲를 작은 정사각형 부분으로 나누어 관찰해보세요.
〈그림 3〉 참조
표를 이용하여 관찰한 결과를 정리해보세요.
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| 〈그림 3〉 | |
〈표 1〉 참조
원을 자르고 남은 모양의 도형에 대하여 닮음 성질을 이용하여 관찰하면 아래와 같이 나타나는 것을 확인했나요?
〈표 2〉 참조
결국 표와 같이 원을 자르고 남은 색종이의 넓이는 모두 같아요.
즉 그림과 같은 규칙 속에서는 모든 경우의 원의 전체 넓이가 같고, 원을 자르고 남은 색종이의 전체 넓이도 같음을 알 수 있어요.
■방법 2:원의 넓이를 이용하여 관찰
이번에는 방법을 달리하여 같은 크기의 정사각형 속에 오려낸 원의 넓이를 이용하여 원을 자르고 남은 부분의 넓이를 각각 비교해보겠어요.
〈표 3〉 참조
순서대로 원을 잘라낼 때 표와 같이 한 개의 원의 넓이는 각각 100π, 25π, 25/4π, 4π, π입니다. 원의 개수는 각각 1개, 4개, 16개, 25개, 100개입니다. 그러므로 각각의 경우의 전체 원의 넓이는 모두 100π가 됩니다. 원을 자르고 남은 색종이 넓이는 정사각형의 넓이가 400이고 각 경우의 전체 원의 넓이가 100π를 뺀 결과이므로 모두 같음을 알 수 있습니다.
즉 이 경우에 (원을 자르고 남은 색종이 넓이)= 400-100π이므로 모두 같습니다.
■정리하기
한 정사각형 속에 위와 같이 규칙적으로 같은 크기의 원을 그리면 원의 크기와 원의 개수에 상관없이 한 정사각형 속에 나타난 전체 원의 넓이는 같아진다는 사실을 알 수 있습니다. 위와 같은 규칙 속에서 원을 뺀 나머지 부분의 넓이는 항상 같습니다. 이와 같이 원을 뺀 나머지 부분의 넓이를 관찰해보면 틈새 부분이 같습니다. 이것을 공극율이 같다고 표현하기도 합니다.
■창의력 문제
한 변의 길이가 6㎝인 정육면체 속에 지름이 각각 6㎝, 3㎝, 2㎝인 구로 균일하게 채워져 있습니다. 구를 가득 채우고 남겨진 틈새 공간의 부피는 어떻게 될까요?
①구의 크기가 작아질수록 구 사이의 틈새 부피도 작아진다.
②구의 크기가 작아질수록 구 사이의 틈새 부피는 커진다.
③구의 크기에 상관없이 구 사이의 틈새 부피는 같다.
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| 〈그림 4〉 | |
▶정답 ③
▶풀이
-닮음 도형의 길이의 비가 닮음 도형의 닮음비가 된다
-닮음 도형의 닮음비가 m :n이면 부피의 비는 m³:n³이 된다.
-구의 부피= 4/3πr³을 이용하면 구할 수 있다.
