수학과 예술(2) 닮은꼴의 반복 속에 담긴 수학적 구조-아하경제2012-09-24

       

수학과 예술(2) 닮은꼴의 반복 속에 담긴 수학적 구조

김흥규, 광신고, 수학과 예술, 닮은꼴, 수학적 구조

네덜란드 예술가 에셔의 1956년 작품 중 정사각형 구조 안에 도마뱀 여러 마리를 조각한 게 있다. 정사각형 가장자리에서 안쪽으로 눈을 움직이며 바라보면 도마뱀의 크기가 점점 작아지며 수가 늘어나기 시작한다. 여러 가지 방식으로 이 그림에 보조선을 그어 보면 부분적인 균등분할 속에 닮은꼴인 작은 도마뱀들이 규칙적으로 배열된 것을 볼 수 있다. 이 그림을 잘 관찰하면 모든 평면이 겹쳐지거나 빈틈 없이 도마뱀으로 가득 채워진 것을 알 수 있다. 

 

[생각의 발견 1] 정삼각형 안과 밖에 그려진 닮은꼴 정삼각형들

정삼각형의 각 변을 등분해 정삼각형 안에 닮은꼴인 작은 정삼각형을 그린 뒤 색을 칠하면 정삼각형은 근사적으로 세 부분으로 구성된다. 만약 이런 과정을 끝없이 계속해서 반복할 수 있다고 가정하면 정삼각형은 닮은꼴 삼각형으로 구성된 나선 모양 띠 세 개로 분할된다. 

 

이제 정삼각형의 안과 밖에 일정한 방향으로 닮은꼴인 작은 정삼각형을 그리자. 다섯 단계까지 안과 밖에 닮은꼴인 작은 정삼각형을 일정한 방향으로 그린 뒤 세 가지 색으로 구별하면 처음 정삼각형의 안과 밖에 나선 띠 모양이 그려진다. 이때 그려진 세 가지 나선 모양 띠는 서로 합동이며 게 모양을 연상시킨다. 

 

[생각의 발견 2] 정육각형 안에 닮은 나선 모양 디자인하기

정사각형은 대각선에 따라 직각이등변삼각형으로 이등분된다. 정사각형의 각 변을 등분해 직각이등변 삼각형을 그리면 닮은꼴 직각이등변삼각형들로 이뤄진 팔각형을 얻을 수 있다. 닮은꼴인 작은 직각이등변삼각형을 변에 계속해서 그리면 처음 정사각형 중심에서 멀어질수록 닮은꼴인 작은 직각이등변 삼각형의 크기가 점점 줄어들고 개수는 무수히 많아진 팔각형 모양을 얻을 수 있다. 이런 수학적 구조 안에 매듭을 그려 넣으면 아름다운 수학적 디자인이 된다. 아래에 제시된 오른쪽 그림은 이런 과정을 알고리즘으로 표현해 컴퓨터로 구현해 얻은 결과다.  

  

[생각의 발견 3] 정육각형 구조 안에 그린 닮은꼴 나선 모양들

정육각형의 각 변에 중점을 표시한 뒤 마주보는 중점을 서로 연결하면 정육각형은 화살촉 모양 여섯 개로 구성될 수 있다. 화살촉 모양 안에 화살표처럼 생긴 나선 모양을 디자인한 뒤 이 모양을 60도씩 회전시키면 화살촉 두 개가 붙은 모양이 된다. 화살촉 모양 안에 바람개비 모양 나선의 색을 다르게 칠한 뒤 이 모양을 120씩 두 번 회전시키면 새로운 도형 디자인을 얻는다. 

이런 과정을 알고리즘으로 표현해 컴퓨터로 구현하면 2011년 로버트 팟하우어의 작품과 같은 결과를 얻는다.

 

[수학과 예술(1) 입방체에서 초입방체로 생각 넓히기]
[색종이를 활용한 수학(3) 정삼각형과 정사면체]
[관찰과 실험 속의 수학(8) 색종이를 활용한 수학 ①]
[관찰과 실험 속의 수학(7) 삼각형을 활용한 수학적 디자인]
[관찰과 실험 속의 수학(6) 미로엔 입구와 출구가 있다]

< 김흥규 서울 광신고 교사 / info@ahaeconomy.com > 2012-09-24 18:23